首先我们承认选择公理

思考这样一个区间套

然后我把  拆成两个区间 

(相关资料图)

有那么一个对应规则让我从  选择一个生成

然后我又有一个对应规则  让我可以从上面任意一个区间里面去取一个实数，那么  是否存在呢?

答案显然是的

证明如下：

首先区间的长度 

是的子集，从取一个数也相当于从 中取一个数 两个数的距离肯定小于 的区间长度所以有

同理往下推有

拓展到  再运用三角不等式得到

所以是一个柯西序列 因此 

有了上述结论，我们可以去证一些比较难证明的结论，例如

闭区间上的连续函数有界

我们用反证法，假设在上连续而且没有上界，那么我们把划分成两个区间

因为在没有上界，所以其中也一定有一个，使得没有上界

以此类推 我们就得到了一个区间套

把二等分，选择一个没有上界的区间

我们再定义  因为 是没有上界的 所以可以这样定义

于是我们构造出了一个点 

但是 这就矛盾了

实数集合的上确界定理

假设是一个非空的连通集，并且  有上界 ，我们在 中任取一个元素 

下面开始构造区间套

我们把  二等分为  和 

如果  我们取 

否则我们取 

于是这个区间套有这么一个性质 

如果  那么  而且 是  的上界 证明很简单这里就不证明了

我们取

说人话就是   分别取区间的左端和右端

于是

这个  就是上确界了

因为 都是上界

都属于集合 所以一定小于等于所有的上界

所以又是上界又小于等于所有的上界